可积条件
前言
- 首先我们先明白什么是达布差，达布差就是达布上和减去达布下和，那么达布上和又是什么呢？达布上和就是一个区间长度乘上该区间的函数最大值，可以认为是函数该区间的上确界。同理可知达布下和。有数学直觉的朋友应该马上就明白了达布差其实就是矩形面积(振幅*小区间长度)。所以我们讨论可积就是讨论所有的达布差都是很小的值，所以后面的证明都是对达布差求和后证明其大小小于ε，也就是所有的矩形面积之和是 < ε
大致思路都是一个 有界量 * 无穷小量导出求和是 < ε
（如果有错误，大佬轻喷，可私我沟通。）
（比较口语，希望感受这种思想）
可积的充分条件
一、闭区间上连续函数
1. 定理
若f为[a,b]上的连续函数,则f在[a,b]上可积
- 连续函数：函数在闭区间上连续。
2. 证明思路
控制好分割（小区间）的细度，使得在该区间振幅足够小。
这里为什么要控制好分割呢？因为他好控制，因为分割求和后就是（b-a）,然后我们利用函数在闭区间上连续可以导出一致连续，就可以导出我们控制好分割的细度,即|x1 - x2|< δ，那么就可以推出|f(x1) - f(x2)|< ε/b-a。（x1 x2为[a,b]上任意两个点）
好了此时wi（振幅）在每个小区间都是无穷小量，然后小区间的区间长度求和就是b-a，所以我们可以得到达布差求和就是 <= （ε/b-a）*（b-a）= ε。
3. 结论
- 连续函数在闭区间上可积。
二、闭区间上单调函数
1. 定理
若f是[a,b]上的单调函数,则f在[a,b]上可积
- 单调函数：函数在闭区间上单调递增或单调递减。
2. 证明思路
控制好wi振幅，限制好分割细度。
为什么要控制wi振幅呢？因为在单调函数中他好控制，因为振幅求和后就是f(b) - f(a)，由此可见任给ε>0,只要||T||< ε/(f(b) - f(a))，就可以得到达布差求和就是 <= ε。（||T||是分割区间里最大长度）
3. 结论
- 单调函数在闭区间上可积。
三、闭区间上有限间断点的有界函数
1. 定理
若f是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数,则f在[a,b]上可积.
- 间断点：函数在某个点上不连续。
- 有界函数：函数在闭区间上有界。
2. 证明思路
重在分而治之。将区间分为包含间断点的小邻域和连续部分。间断点邻域的总长度任意小，而连续部分通过一致连续性控制振幅。
包含间断点的这部分区间的振幅最大为2M（严谨一点可以是 M - m ,不过我们这里是|f(x)| <= M ），控制其区间长度就可以导出 其达布差总和被控制在ϵ/2。
而连续部分我们可以用第一个讲的结论，即利用一致连续性限制振幅，控制其区间长度就可以导出 其达布差总和被控制在ϵ/2。
两者相加就可以导出 其达布差总和被控制在ϵ。
3. 结论
- 有限间断点的有界函数在闭区间上可积。
三种证明的异同分析与条件的影响
一、证明思路的异同
共同点：
- 核心目标：使达布上和与下和之差 U(T,f) - L(T,f) < ε ，从而证明可积性。
不同点：
- 处理不连续性的方式：
- 有限间断点函数：将有限个间断点用长度任意小的小区间覆盖，隔离其影响（局部控制）。
- 单调函数：利用总变差 f(b) - f(a) 的有限性（整体控制）。
- 连续函数：无间断点，直接利用一致连续性全局控制振幅。
- 误差分配策略：
- 有限间断点：将误差分为“间断点附近”和“连续部分”两部分，分别控制（分治策略）。
- 单调函数：直接将总变差与分割细度结合，线性控制误差（一步到位）。
- 连续函数：通过一致连续性统一限制所有子区间的振幅（全局均匀控制）。
- 处理不连续性的方式：
二、条件对证明的本质影响
有限间断点的有界函数：
- 条件作用：间断点有限且函数有界，使得不连续性的影响可被局部隔离。
- 证明本质：
- 间断点构成零测集，其贡献通过微小区间覆盖被吸收。
- 剩余连续部分利用一致连续性细化分割，确保振幅足够小。
- 关键限制：若间断点无限但可数（如有理数点），则需更强的条件（如零测集）。
单调函数：
- 条件作用：单调性隐含了有界性，且总变差 f(b) - f(a) 有限。
- 证明本质：
- 总变差的有限性允许将误差表达为 ||T||⋅(f(b)−f(a)) ，仅需||T||< ε/(f(b) - f(a)) 就可以得到达布差求和就是 <= ε。
- 即使存在无限个跳跃点（如阶梯函数），总跳跃量仍有限。
- 关键限制：单调性是不可或缺的，否则总变差可能无法计算求和（如振荡函数）。
连续函数：
- 条件作用：闭区间上的连续函数必一致连续且有界。
- 证明本质：
- 一致连续性将局部振幅控制转化为全局均匀控制，无需特殊处理任何点。 ||T|| < ε/b-a。
- 振幅与分割细度的结合直接保证达布和差任意小。
三、总结表格
| 函数类型 | 关键条件 | 误差控制策略 | 本质依赖 |
|---|---|---|---|
| 有限间断点的有界函数 | 有限个间断点 + 有界 | 隔离间断点，分治控制 | 零测集处理与一致连续性 |
| 单调函数 | 单调性（隐含有界性） | 总变差有限性 + 分割细度 | 单调性的总变差与分割范数的乘积 |
| 连续函数 | 闭区间上的连续性 | 一致连续性全局均匀控制振幅 | 闭区间的一致连续性 |
四、核心思想提炼
可积性的统一框架：
可积性的本质是函数的“震荡”在积分意义下可被任意压制。无论函数特性如何，最终需构造分割使得震荡（矩形）总和（振幅×区间长度）足够小。条件的适配性：
- 有限间断点：通过局部覆盖处理非零测集的例外点。
- 单调性：利用总变差的有限性，避免依赖点的局部性质。
- 连续性：一致连续性提供全局均匀性，简化控制逻辑。
数学工具的差异性：
- 有限间断点证明依赖覆盖引理（如有限覆盖定理）；
- 单调函数证明依赖望远镜求和与总变差；
- 连续函数证明依赖一致连续性定理。
最终结论
不同条件通过影响函数的震荡特性与结构，分别对应分治控制、整体变差约束或全局均匀性，但均回归于达布和差的任意小性，本质是可积性对局部不规则性的容忍与全局控制的平衡。